1. Этот сайт использует файлы cookie. Продолжая пользоваться данным сайтом, Вы соглашаетесь на использование нами Ваших файлов cookie. Узнать больше.

Кое что про арифметику

Тема в разделе "Среднее образование", создана пользователем Магадан, 21.12.15.

  1. Магадан

    Магадан Активный участник

    9.265
    12
    Все что здесь происходило - длилось пару тройку месяцев, между делом, пока удавалось немного пообщаться в перерывах между работой с дитем. Обобщенное описание из которого выдернуты второстепенные детали. Ход событий и скорость восприятия не позволяли все втискивать в какие то рамки: приходилось по нескольку раз, в разных но похожих контекстах, в разное время, возвращаться к уже сказанному. Задавать наводящие вопросы, чтобы уяснить, что и насколько было понятным. Здесь все не описать.

    Исходные данные ребенок имеет сносный навык счета за пределы сотни, умеет складывать числа, с привлечением пальцев в трудных случаях.




    Однажды шел с дитем из школы и речь зашла про то откуда появились цифры и числа. Ну и рассказал ему такую историю, что дескать, изначально, динозавры были большими. Поймало племя одного и ест сколько влезет. Всем хватает. А потом наступило похолодание. Динозавры стали мельчать от трудностей.
    И теперь для прокорма и про запас, надо было наловить их побольше. Опытным путем установили сколько нужно на пропитание одному человеку, а потом и всему племени. Стали отмечать нужное количество на веревке, навязывая столько узлов на ней, сколько нужно поймать зверьков.

    Все бы хорошо, но динозавры продолжали мельчать, и скоро для хранения записей о количестве нужен был внушительный моток веревки.

    Ну и тут один продвинутый человек, решил сразу считать динозавров кучками определенного размера. И по три, и по шесть.... и по двенадцать... потом, почти все сошлись на том, что удобнее всего брать кучки по 10.

    Так и пошло - завели две маленькие веревочки разного цвета, чтобы не перепутать. На одну навязывают узелки по количеству кучек, а на вторую, остаток, у которого до целой кучки уже не хватает.
    Веревка получилась легкая, коротенькая, в общем - очень удобно стало.

    Прошло какое то время, и еще один умный человек, продумал, что на каждой веревке больше десяти цифр ничего не записать все равно, и для каждого количества, от 0 до 9 придумал отдельный символ. Который и назвали. собственно, цифрами.
    Самый продвинутый древний человек, придумал что у каждого символа должно быть столько углов по количеству, которое он обозначает. Например у цифры 1 - один угол, и тд.
    И еще решили, что если писать цифры в ряд друг за дружкой, то первая справа - означает сколько отдельных зверей, следом за ней,сколько кучек по 10. Тоесть. Почти как с веревками. Так и получилось то самое число которое мы можем и сейчас видеть везде.

    Потом понадобилось отдельно обратить внимание, что:
    - цифры от чисел тем и отличаются, что цифры сами по себе указывают конкретное количество подсчитываемого, а внутри чисел - могут еще указывать и количество кучек заранее известного размера. И что разобрать, что они обозначают, можно по месту, на котором они расположены в числе.


    Рассказывал все это не за один раз. Понадобилось недели 3 урывками, в усной форме, и минут 15 с бумажкой.

    Дальше пришло понимание, что логично будет расставить все точки... рассказать что место цифры в числе зовется разрядом... и в общем я крепко задумался - а надо ли вообще это?

    Невинная затея с узелками перерастала во что непотребное для первоклассника. Примерно с неделю я думал, что к чему. И пришел к выводу, что раз все происходит непринужденно, то рассказать надо, не ожидая результата. Просто как будто бы, к сведенью, раз не вызывает негативной реакции.
    Но все-таки как то привязать к реальности выдаваемую информацию было нужно.

    Рассказал ему про разряды в числах, аккуратно между делом спрашиваю, чтобы проконтролировать, как он это понимает. Рассказал что те которые для единиц, правее, помладше.

    Для десятков, левее - постарше. И потом говорю: хочешь научу любые числа складывать? Даже миллионы. Он конечно согласился. Обычные числа он уже вполне складывает, а тут сразу миллионы....)

    Пишу ему 2 числа в столбик, при поразрядном сложении которых, полученное число совпадает с размерностью одного разряда.

    Смотри. говорю, вот тут разряд единиц, тут десятков. Складывать крайне просто, просто берешь два одинаковых разряда, например из разряда единиц, и складываешь. И записываешь внизу результат, единицы под единицами. Потом то же самое делаешь с десятками. И так далее.


    Задаю ему несколько вариантов. Он все моментально вычисляет.

    Пишу пример, в котором при поразрядном сложении результат от сложения единиц в один разряд не влезает. Хохма, думаю, что будет делать?
    Даю ему, он пишет то что получилось по старым правилам. Получается несколько тысяч, то-есть явно больше чем должно быть.

    Объясняю ему, что если в процессе поразрядного сложения, результат занимает места больше одного разряда, то разряд помладше записывается как обычно, под теми разрядами которые складываем, а тот который левее и постарше, отправляется складываться к таки же как и он, следующим по старшинству.

    Сразу все исправилось, записал ему два семиразрядных числа, таких, что в каждом разряде при сложении - получается переполнение.
    Вычисляет до конца, и на последнем этапе опять в ступоре, последняя единица - её надо к старшим перенести, а старшие "кончились".

    Объяснил, что если их не написали, то это не означает что их нет. Просто там 0, и писать, чернила тратить, не имеет смысла. Но так как у нас на это место претендует единица, то нужно просто дописать ее туда, и число станет на одну цифру длиннее.

    Давал ему примеры на бумаге. В процессе решил выяснить, нарушится ли алгоритм изза произвольного написания чисел. В строчку в виде примера, просто два числа каких то с просьбой сложить. Смотрю - все точно так же работает, как часы.
    Иногда неожиданно давал ему задачки на сложение для тренировки, задавал вопросы, просил комментировать все действия при сложении (вот, кстати, это реально сложнее остального), а на днях попросил, чтобы он с 2х и 3х разрядными числами проворачивал все то же самое в уме. И к своему удивлению заметил что это вполне работает, не хуже чем на бумаге.
     
  2. Магадан, ааа! Егор, попробуй объяснить ему, как вычитание можно заменить сложением.
    В общем если нужно, к примеру, от 56 отнять 23, можно сделать следующим образом:
    1. Преобразовать число, которое нужно отнять, по простому правилу - все цифры заменить на обратные (0 - на 9, 1 - на 8, .. 4 - на 5, .. 9 - на 1 и т.д.), а затем прибавить единичку. В нашем случае получается 76+1 = 77.
    2. Прибавляем к 56 77: 56+77 = 133, а затем откидываем "лишний" разряд (который выше старшего). Получается - 33.
     
  3. Магадан

    Магадан Активный участник

    9.265
    12
    Бабруйский Диверсант, Может казус получится. У них же школьная программа. Там вычитание пока еще не освоили толком, может выйти ненужная двусмысленность.

    Я вообще стараюсь действовать аккуратно, и лишнего не сболтнуть раньше времени. Пока вроде бы сбоев не было.
     
  4. Магадан, тут дело не в школьной программе, а в том, чтобы заинтересовать ребёнка и чтоб у него возникла уверенность в том, что он знает, как и что получается, и чтобы и у самого получилось. Кроме сложения с дополнением до полной разрядной сетки вместо вычитания (кстати, так на вычитание работают АЛУ в процессорах) есть ещё полно всяких интересных и нестандартных вещей.
    Ты, видишь, довольно неплохо ему сложение объяснил, думаю, не стоит останавливаться и оглядываться на то, чтоб чего лишнего не сболтнул.
     
  5. lange

    lange Активный участник

    9.761
    1
    Тут недавно в дискуссии один чел выдвинул тезис, что, собственно, такое явление как КНИГА возникло не как производное СЛОВА, которое, как известно, было в начале всего, а именно как инструмент для древних бухгалтеров, которые вели счет упомянутым пресловутым динозаврам - в интересах первично возникающих государств, требующих учёта ресурсов, в т.ч. и для ведения войн и прочего угнетения трудящихся..
    Впрочем, как выяснилось из контекста беседы, этот чел только недавно снял достаточно большие погоны , а по специфике службы, как я понял, занимался еще и прикладной каббалистикой..
     
  6. Andr688

    Andr688 Активный участник

    3.020
    0
    охренеть, как сложно ;) это ж еще это правило помнить нужно. у меня результат моментально и так получился. это работает, если что сложнее надо: 37555885-7583789 ?
     
  7. Магадан

    Магадан Активный участник

    9.265
    12
    Здесь задача не столько научить. Полноценного понимания таких моментов все равно не будет в младшем школьном возрасте. Такие задачи поднимают на новый качетвенный уровень математический опыт, так как дают возможность взглянуть на вопросы арифметики с несколько более фундаментальных знаний.

    Современная школа на этом этапе делает арифметику аксиоматичной, с понятиями определяющимися уровнем подготовки. А такие примеры и небольшой практикум, дают понимание что на самом деле это только верхушка аисберга. Рано или поздно они "всплывут" в задаче, где их выгоднее будет использовать чем при расчете сдачи в магазине.

    Ну и вообще говоря - это еще и тренировка видов мышления связанных с математикой. Причем еще не известно у кого больше, может, к примеру, у меня. Так как до этого времени я не встречался с стойкой необходимостью не просто применять самому, но и рассказывать в доступной форме произвольному человеку, да еще и ребенку.
     
  8. Магадан

    Магадан Активный участник

    9.265
    12
    Несколько книжек по теме.

    Задачник по арифметике для начальных классов. ч2.



    Задачник по арифметике для начальных классов ч3

    ---------- Сообщение добавлено 07.03.2016 13:58 ----------

    Еще одна полезная книжка, старая но все равно полезная.
    Ф. Кликс Пробуждающееся мышление. У истоков человеческого интеллекта
     
  9. muZA

    muZA Участник

    147
    0
    Какой Вы молодец, я думаю мышление Вашего ребенка не будет загнано в узкие шаблоны и рамки - а это несомненно путь познанию и сотворению...
    Мой сын учится во 2 классе по программе Эльконина -Давыдова, так у них осенью по математике были темы на сложение и вычитание в различных системах счисления- троичных, семиричных и тд...Родители чуть не порвали классного руководителя на собрании, потому что не могли выполнить домашние задания:d кричали, зачем детям мозги засоряете...еле отбилась, пытаясь объяснить, что так дети познают ЕДИНЫЙ алгоритм вычисления и их не пугает величина числа. Мне программа очень нравится, хотя для себя тоже открываю много нового, так училась в обычной советской школе и более гуманитарий, чем...но очень интересно...
     
  10. Магадан

    Магадан Активный участник

    9.265
    12
    Системы счисления сложная тема. Мне лично кажется что в школе рано включать в программу второго класса такие вещи. Не будет глубоких знаний.

    Для того чтобы знания уложились хорошо - нужно пояснить их актуальность. У второклассника кое чего нет для того, чтобы это можно было бы сделать полноценно.

    Например - если человек знает о суточном вращении земли и о вращении вокруг Солнца, имеет представления об углах, то ему можно довольно просто объяснить почему в часах используется такая странная система счисления, и почему это удобная система счисления.
    И как ей пользоваться, например привести для примера солнечные часы.

    Или упомянуть вычисление долготы - по смещению полудня относительно времени нулевого меридиана, показать как вычислить широту по высоте солнца.

    Второклассник не обладает нужными представлениями о всем вышеперечисленном. И любая логика преподавателя останется одиноким, мало с чем связанным кусочком знания в голове. Кроме этого страдает навык установления связей между фактами, явлениями.

    В общем, абстрактные знания за которыми не приходит ощущение их актуальности, плохо укладываются в полезную систему. От которой потом в жизни можно получать удовольствие.

    У идеологов информационного общества под такие странные кусочные занятия подведена своя в целом понятная (но неприятная и антигуманная) логика.
    По своей сути это новодел, не подчиняющийся принципам преемственности по отношению к доказано эффективным методам обучения из нашего недавнего прошлого.

    И уже заметно приносящий проблемы туда, где потом это самое образование нужно применять: качество математического образования выпускников школ падает катастрофически. Настолько быстро что за ним ежегодно не успевают снижать планку стандарта.
    В большинстве школ в которых не натаскивают, а учат мыслить - работает та самая программа, по которой учились вы. Только еще более консервативная, если сравнивать с последними годами СССР.
    И там от нее никто и никогда не откажется.

    Поэтому я считаю что за пределы классической школьной программы лучше не выходить и не натаскивать ребенка на такие вещи.
    Максимум - рассказать в качестве обзора, но так чтобы он понял принцип в общих чертах. Попробовал. Примерялся.

    Чтобы догадывался, что знания не берутся из ниоткуда, не получаются сами по себе, как продукт работы мозга. Что они возникают где-то на стыке познавательных возможностей человека и условий в которых такие возможности могут пригодится. Что это инструмент, в конце концов.

    В итоге, из того чем я занимаюсь с ним более менее регулярно, это обычная школьная программа (но не та которая в школе :) ). Примерно с той же самой степенью консервативности, которая есть в старейших элитных школах. В которую крайне редко вносят модные изменения.

    Арифметика, чтение и понимание текста. Ну а остальное просто рассказываю по дороге куда нибудь. В школе никаких проблем не возникает.
     
  11. muZA

    muZA Участник

    147
    0
    Вот не соглашусь с Вами...Я пока не столкнулась именно с этой программой об этом не задумывалась, но здесь они начинали с первого класса именно поэтапно - как появляется число, мерили разными мерками, ну и много еще чего не совсем привычного для начальной школы...а во втором стали складывать и уже без каких- либо сложностей трех-четырех значные числа. Мой ребенок спокойно объясняет мне как происходит переполнение разряда и куда и что переходит...Это нам взрослым считающим только в 10-тичной системе было сложно перестроится...НО в нашем классе учитель именно учит мыслить, понимать, что и откуда берется и куда девается, а не механически заучивают приемы сложения
    А вообще я тоже ярый поклонник старой советской школы:shuffle:
     
  12. Магадан

    Магадан Активный участник

    9.265
    12
    Взрослым сложно перестроится, потому что когда мы учились, считалось что тема с разрядностью и тп - специальная, и ее изучали в специальных курсах скомпонованных с другими так, чтобы обеспечить более полноценное понимание.

    Тоесть, ваши проблемы с пониманием систем счисления - не в том что вы уже не второклассницей с ними встретились, а в том что вся механика и вся кухня этой темы, вам изначально и в десятичной системе не была известна иначе кроме как в форме алгоритма не требующего разбора его работы.

    Выбор был не случайно сделан. Для любопытства, попробуйте попросить второклассника, ученика по этой программе, перевести, скажем, двоичное число в 8 разрядов - в десятичное. И уведите, что где-то в этом месте желание авторов развивать мышление закончилось. Потому что дитю не хватает чисто арифметических навыков. Максимум - возможно он сможет применить какую нибудь упрощающую схему, о сути работы которой ничего не знает. О переводе в уме вообще речи нет. Хотя для ученика скажем... 6ого класса обычной неноваторской школы, это уже посильная задача (но тоже не совсем своевременная).
    Так что я бы на вашем месте не сильно радовался таким успехам. Современная программа сплошь из таких кусков нарезана. И за время этого недоброго периода - качество математического образования только падает.

    В прошлом году, например, дошло до того, что система пересчета баллов в ЕГЭ была переделана.

    Так, чтобы за последний год можно было показать побольше баллов, за принципиально те же что и до этого, навыки.

    Говоря грубо - то, за что в прошлом году ставили двойку, сейчас уже "три".