1. Этот сайт использует файлы cookie. Продолжая пользоваться данным сайтом, Вы соглашаетесь на использование нами Ваших файлов cookie. Узнать больше.

Геометрическая подстава?

Тема в разделе "Научные вопросы", создана пользователем E13, 23.07.14.

  1. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    Кто подскажет, в чём тут фишка?

    Всем известное утверждение: "параллельные прямые не пересекаются".

    Я нарисовал схемку:

    [​IMG]

    Есть две прямые - b и c, параллельные друг другу. От одной прямой до другой - расстояние a. a пересекает b и c в точках A и B соответственно.

    Предположим, под углом alpha из точки B проведена линия e, которая пересекает линию b в точке D.

    Допустим, нам известна длина отрезка AB и угол alpha.

    Тогда AD = BD * cos (alpha), AB = BD * cos (90-alpha)

    Иными словами, AD = AB * cos (alpha) / cos (90 - alpha)

    Если мы устремим alpha к 0, мы получим приближение прямой e к параллельной.

    То есть, AD будет изменяться как-то вот так:

    lim (apha -> 0) AB * cos (alpha)/ cos (90 - alpha) = AB * cos (0) / cos (90) = AB * 1 / 0 = бесконечность

    Таким образом, параллельные прямые пересекаются на бесконечно удалённом участке.

    Что, в свою очередь, означает, что AB = CD - x, где x - бесконечно малая величина.

    Но CD = BD * cos (90-alpha), и AB = BD * cos (90-alpha)

    Таким образом, CD = AB => x = 0.

    И таким образом, принимая, что прямые не пересекаются, мы можем опровергнуть это. Но принимая обратное, мы снова можем это опровергнуть. То есть, система внутренне противоречива.

    Где тут допущена ошибка?
     
  2. b70

    b70 Активный участник

    3.280
    10
    где то тут )))
     
  3. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    b70, нужно больше шокирующих подробностей! :yes:
     
  4. hasslich

    hasslich Активный участник

    16.639
    80
    тут ошибок нет

    E13, на ноль делить нельзя
     
  5. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    hasslich, это да, но ведь там предел. А в пределах ситуация вида n/0 трактуется как бесконечно большое число. У меня вот ощущение, что как раз с этими бесконечно большими-бесконечно малыми что-то не так, но тут явно нужно глубже понимать математику, чтобы выяснить.
     
  6. b70

    b70 Активный участник

    3.280
    10
    там катангенсом пахнет, вместо этого неизвестного (мне, во всяком случае) преобразования (да и не нужного, в задаче найти предел ВД (АВ) при бесконечно малом угле).
     
  7. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    b70,
    Отчего же неизвестное? Обычная система уравнений с двумя неизвестными. С котангенсами я решил не заморачиваться, поскольку синусы с косинусами теплее и ламповее :)
     
  8. hasslich

    hasslich Активный участник

    16.639
    80
    онлайн калькулятор пределов вычисляет твой предел как секанс (90)
    соотв., если косинус нуля это 1, то секанс (90) это тоже один.
    итого получаем квадрат)

    ---------- Сообщение добавлено 23.07.2014 17:23 ----------

    http://integraloff.net/limit/limit.php
     
  9. b70

    b70 Активный участник

    3.280
    10
    для данной задачи, повторяюсь
     
  10. hasslich

    hasslich Активный участник

    16.639
    80
    секанс это единица разделить на косинус угла
     
  11. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    hasslich,
    А вот тут говорят обратное :shuffle:
     
  12. hasslich

    hasslich Активный участник

    16.639
    80
    ты опять накурился как лосось?)

    первая строчка таблицы, слева вверху, для угла в нуль градусов, секанс будет единицей.
     
  13. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    hasslich, так у нас вроде 90, не?
     
  14. hasslich

    hasslich Активный участник

    16.639
    80
    так у тебя угол то стремится к нулю, не?
    ты предел как щитал?
    решение твоего предела есть секанс (90)
    который равен единице
     
  15. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    hasslich,
    вот предел:
    lim (apha -> 0) AB * cos (alpha)/ cos (90 - alpha)

    вот что из него выходт:
    AB * cos (0)/ cos (90)

    вот секанс: 1/cos X

    с учётом написанного, перепишем выражение как
    AB * cos(0) * sec(90)
     
  16. hasslich

    hasslich Активный участник

    16.639
    80
    равно АВ
     
  17. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    hasslich,
    1/cos(90) = 1/0 = бесконечность. Это если ссылки на таблицу значений недостаточно.
     
  18. Serg21220

    Serg21220 Активный участник

    3.375
    0
    Коль мы (точнее, Вы) начали работать с бесконечноудаленными точками (и бесконечнобольшими и малыми числами как с конечными) как с "конечноудаленными", то ничто не мешает нам рассуждать и так: "... получим приближение к параллельной для b прямой и совпадающей с прямой a, откуда CD = 0 (т.к. D - точка, лежащая на прямой e, которая при alpha->0 совпадает с прямой a)."

    С учетом того, что CD=0, то не означает!

    А ошибка в том, что Вы с бесконечноудаленной точкой работаете как с "конечноудаленной". Кто Вам сказал, что для "бесконечноудаленных" точек справедливы те же аксиомы, что и для "конечноудаленных"? В наборе аксиом Евклидовой геометрии (на основе которых и развертывается вся Евклидова геометрия) про бесконечноудаленные точки ничего не сказано.

    Таким образом, добавив аксиомы для бесконечноудаленных точек (а неявно Вы это и сделали, сами того не поняв/не заметив: например, Вы начали вычислять расстояния и использовать правила вычисления расстояний между бесконечноудаленными точками так, как будто это "конечноудаленные" точки) Вы только что построили свою геометрию. И получили противоречивую теорию. Т.е. проиллюстрировали сами теорему Геделя о неполноте/противоречивости: любая полная система аксиом внутренне противоречива! Полная система аксиом - эта такая система аксиом, любое утверждение которой может быть доказано (или опровергнуто). И теорема о неполноте: в любой непротиворечивой системе аксиом всегда существуют заведомо истинные (ложные) высказывания, истинность (ложность) которых внутри рассматриваемой системы аксиом не может быть установлена (и, более того, ЗАРАНЕЕ для любого утверждения не известно, можно ли установить его истинность в рамках рассматриваемой системы аксиом, или это утверждения является "непроверяемым" в рамках данной системы аксиом).
     
  19. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    Serg21220, спасибо большое за ответ по существу! Я собственно и думал, что что-то не так в этих самых бесконечно больших-бесконечно малых. Предложенный вариант, чем больше о нём думаю - тем больше напоминает апории Зенона :). Там в качестве варианта решения (в "Ахиллесе") в частности была попытка использовать сумму бесконечно малых, что не выгорело.

    Про отрезок CD не понял, разве что :).

    Есть что-то, что почитать на этот счёт? В частности, про отличие "бесконечноудалённых" точек от "конечно удалённых" и прочий теоретический бэкграунд.
     
  20. Serg21220

    Serg21220 Активный участник

    3.375
    0
    Ну, как вариант, я бы рекомендовал М.Клайн. Математика. Утрата определенности. Издание (Мир) 1984 года.

    Очень хорошо написана книга. Причем на вполне доступном и интересном языке. История математики (с самого зарождения до начала 20 века, по крайней мере теорема Геделя затронута) и ее проблем (в частности, проблемы Евклидовой геометрии и развитие неевклидовых геометрий также очень хорошо освещены).

    Только вот в Гугле обычно вылетает непонятное издание 2009 года, сильно урезанное (до 5 разделов, чуть более 200стр) - его бы я не рекомендовал. В оригинале 15 разделов (около 450стр.)

    Рекомендую на poiskknig.ru набрать "Математика. Утрата определенности" - там будет три ссылки, все - то, что нужно.
     
  21. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    Serg21220, спасибо!
     
  22. кошак

    кошак Активный участник

    879
    1
    По моему Эйнштейн приводил такой пример насчет параллельных прямых.... Что мол , встаньте на жд путь и смотрите вдаль....Прямые где то там пересекуться... Правда он там насчет "пространства" рассуждения вёл.....;)
     
  23. Головач Лена

    Головач Лена Активный участник

    5.679
    69
    это евклид утверждал

    лобачевский был другого мнения)
     
  24. Serg21220

    Serg21220 Активный участник

    3.375
    0
    Ну, вообще-то, грубо, Лобачевский предпринял попытку вывести данный постулат Евклида (о параллельных прямых) из остальных. От противного. В результате не пришел к противоречию. Что означало, что данный постулат независим от остальных. Ну и, в итоге, Лобачевский построил свою геометрию (в которой Евклидова аксимома/постулат о том, что "через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной" заменена на аксиому/постулат о том, что "через точку вне прямой можно провести как минимум 2 прямые, параллельные данной"), которая также непротиворечива (собственно, есть еще один возможный случай по отношению к указанной акимоме/постулату: когда через точку, не лежащую на прямой, вообще нельзя провести прямую, непересекающуюся с исходной). Все три геометрии непротиворечивы. И вполне работают, в зависимости от того, какое пространство рассматривается...

    P.S. На Земном шаре (как и на любой двумерной сфере), вообще-то, Евклидова аксиома(/постулат) о параллельных, очевидно, не выполнена.
     
  25. E13

    E13 Модератор

    6.150
    33
    А я причем?, и как пробовали уже? Работает? :d