Об одном математическом парадоксе и золотом слитке, полученном из ничего

"В МИРЕ НАУКИ" 1989/#6

Об одном математическом парадоксе и золотом слитке, полученном из ничего
А. К. ДЬЮДНИ

Ничто не возникает из ничего. Лукреций.

Признаться, поначалу я не очень удивился, получив примерно год назад длинное послание, автор которого утверждал, что изобрел машину, производящую материю. Не секрет, что среди тех, кто пишет мне, нередко попадаются люди, утверждения которых выглядят, по меньшей мере, невероятными. Но поскольку наука должна быть свободна от предрассудков и терпимой к различным точкам зрения, я стараюсь не торопиться с выводами и читаю письма до конца.
Именно так я и поступил с этим письмом. Изобретатель основывал свое утверждение на известном в математике парадоксе Банаха-Тарского. Названный по имени двух польских математиков, открывших его в 20-е годы нашего столетия, этот парадокс показывает, каким образом при определенных условиях идеальное геометрическое тело можно рарезать на куски, из которых затем получить новое тело, вдвое больше исходного.
Написавший мне изобретатель оказался профессиональным математиком, автором многих научных публикаций. По причинам, которые вскоре станут понятными, он не хочет называть своего имени и попросил, чтобы я называл его Арло Липоф (Arlo Lipof). Зная о парадоксе Банаха-Тарского, Липоф решил проанализировать возможность применения этого математического парадокса к физически реальным телам. Его исследования были щедро вознаграждены: он написал компьютерную программу, дающую точный рецепт, согласно которому физическое тело можно разрезать на много частей причудливой формы, а затем собрать их в тело вдвое большего размера, не содержащее никаких пустот между составными частями!
Очевидно, значение программы Липофа трудно переоценить. Чтобы объяснить сущность парадокса и то, каким образом он использовался в программе, лучше всего процитировать отрывок из письма, написанного самим Липофом.
"Парадокс напоминает известную головоломку с танграммами, маленькими кусочками бумаги, нарезанными в форме простых геометрических фигур. Из четырех таких фигурок можно собрать квадрат площадью 64 квадратных дюйма (примерно 413 кв.см). Однако те же самые фигурки можно собрать в виде прямоугольника, имеющего бОльшую площадь, а именно 65 квадратных дюймов. Если вы не верите, что это возможно, вырежте фигурки, показанные на моем рисунке [].
Если бы вместо кусочков бумаги у нас были кусочки золота, то, сложив из квадрата прямоугольник, мы бы приумножили свое богатство. Начнем, например, с золотого квадрата, скажем, со стороной 8 дюймов и толщиной 1 дюйм. Разрежем квадрат ... Если теперь из его фрагментов собрать геометрическое тело, показанное на рисунке справа, то появится лишний кубический дюйм золота, который весит приблизительно 4.3 унции (примерно 122 г) и по текущему курсу золота стоит около 1800 долл.".
Далее Липоф признает -- ощущение, будто мы получили нечто из ничего в приведенном примере, конечно, чисто иллюзорное. Однако, утверждает он, несмотря на то, что парадокс Банаха-Тарского "производит такое впечатление", теоретически в нем нет никакой ошибки. Парадокс Банаха-Тарского вполне реален -- по крайней мере в математическом смысле.
...
"Таким образом, -- пишет Липоф, -- мы можем взять две сплошные сферы, одна из которых вдвое больше другой, и разрезать их на части, так чтобы они были попарно конгруэнтны. Забудем о большей сфере и рассмотрим меньшую. Предположим, что она сделана из золота. В принципе оказывается возможным разрезать ее на конечное число частей, которые затем можно снова собрать в сферу вдвое большего размера."
Здесь нет никакого мошенничества, хотя, конечно, под невинным словом "части" подразумеваются объекты с определенными топологическими свойствами. Во-первых, эти объекты совсем не обязательно просты по форме или даже состоят из связных фрагментов. Некоторые фрагменты одной части могут быть сколь угодно близкими друг к другу, но фактически не соприкасаться. Более того, эти части невозможно точно измерить каким-либо способом. Например, трудно даже представить себе, каким образом можно измерить их объем и как бы они выглядели на самом деле. По выражению Липофа, "они ни на что не похожи. По сравнению с ними даже фракталы выглядят простыми танграммами".
...
Здесь я опять процитирую отрывок из письма Липофа: "Я потратил много лет на изучение парадокса Банаха-Тарского и связанную с ним теорию.
...
Мне пришла в голову мысль поэкспериментировать с реальным физическим веществом, но вначале на этом пути возникло препятствие. Размеры фрагментов, вычисленные моей программой, выражались числами с тройной машинной точностью, которая требовала чуть ли не того, чтобы я разрезал пополам отдельные атомы, изготовляя необходимые фрагменты! Кроме того, у меня вообще начали возникать сомнения, что я нахожусь в здравом уме: уже из за самой идеи провести реальное разбиение сплошного шара у меня возникло ощущение, что я живу в каком-то сне.
Снова и снова я говорил себе, что это, конечно, невозможно, но, как оказалось, напрасно. Наконец настал момент, когда я уже не мог более откладывать эксперимент. Взяв в банке значительную часть своих сбережений, чтобы купить 12 унций (примерно 340 г) золота, я попросил отлить его в виде шара и, купив маленькую пилу для ювелирных работ, начал вырезать из шара части, следуя рецепту своей программы. Здесь мне очень пригодилась вторая программа. Она точно указывала размеры и форму каждой части, а также подсказывала мне, куда должна быть помещена каждая часть во втором шаре.
... Он получился неровным и шероховатым. Но с каким волнением я сжимал в руках мешочек, в котором лежал мой шар, когда я отправился к ювелиру. Конечно, окончательно результаты моей работы будут выявлены тогда, когда мой шар будет расплавлен и я узнаю, действительно ли получил в восемь раз больше золота, чем содержалось в исходном шаре.
На следующий день ювелир вручил мне слиток чистого золота весом 49,58 унций (около 1,4 кг). Это было меньше, чем я ожидал; видимо, эти зазоры все-таки сделали свое дело. Но все же в главном теперь не было никаких сомнений. Впервые в мире парадокс Банаха-Тарского получил практическое применение. В течение нескольких дней у меня кружилась голова при мысли о совершенном мной открытии. И сейчас я просто не знаю, что делать дальше".
После этого первого письма от Липофа не было никаких вестей в течение нескольких месяцев. Но как-то в ноябре прошлого года почтальон принес мне от него короткое письмецо, отправленное из одного южноамериканского государства:
"Вам, конечно, небезынтересно будет узнать, что я в некоторой степени автоматизировал процедуру получения больших золотых шаров из маленьких. На оставшуюся часть моих сбережений я организовал мастерскую в маленьком городке N. Здесь несколько моих надежных помощников собирают золотые шары. Рабочее помещение оборудовано компьютерами и столами, за которыми мои люди собирают шары. Теперь фрагменты не вырезаются, а сразу отливаются в нужной форме, а затем подвергаются механической обработке. По завершении процесса у нас всегда получается лишнее золото, которое мы опять пускаем в работу. В настоящее время мы производим около пяти фунтов золота в неделю "из ничего". Может быть, это и есть философский камень, о котором мечтали алхимики?
Скоро отсюда придется переезжать в другое место. Наверное, я вам больше не буду писать, это становится опасным. Простите меня, мой друг, но перед лицом такого потенциального богатства поневоле становишься мнительным. Нужно еще так много сделать..."
Больше я ничего не слышал о Липофе. Но в декабре прошлого года, чисто из любопытства, я начал следить за тем, как меняется день ото дня курс золота на бирже. На протяжении трех месяцев он медленно, но неуклонно падал. Возможно, это послужит окончательным доказательством для тех, кто считал парадокс Банаха-Тарского просто математической забавой.

Вот такая, собственно, забавная статейка Ах, да, чуть не забыл, Arlo Lipof составлено из April Fool :D

 

Безусловно, это очень интересно... Но я вот чего не понял:

Разве это утверждение не противоречит следующему:

, А???
Да, ещё... Очень хотелось-бы найти иллюстрации из этой статьи, кто-нить может помочь? В частности интересуют варианты складывания танграмм, т.е. разной площади (как такое вообще возможно???)
ЗЫ: Cray, ты чего оканчивал?

 

Да где это посмотреть-то??? Я вот ни разу не видел!

Заметно Моё почтение. А где щас работаешь, если не секрет?