Кое что про арифметику

Все что здесь происходило - длилось пару тройку месяцев, между делом, пока удавалось немного пообщаться в перерывах между работой с дитем. Обобщенное описание из которого выдернуты второстепенные детали. Ход событий и скорость восприятия не позволяли все втискивать в какие то рамки: приходилось по нескольку раз, в разных но похожих контекстах, в разное время, возвращаться к уже сказанному. Задавать наводящие вопросы, чтобы уяснить, что и насколько было понятным. Здесь все не описать.

Исходные данные ребенок имеет сносный навык счета за пределы сотни, умеет складывать числа, с привлечением пальцев в трудных случаях.




Однажды шел с дитем из школы и речь зашла про то откуда появились цифры и числа. Ну и рассказал ему такую историю, что дескать, изначально, динозавры были большими. Поймало племя одного и ест сколько влезет. Всем хватает. А потом наступило похолодание. Динозавры стали мельчать от трудностей.
И теперь для прокорма и про запас, надо было наловить их побольше. Опытным путем установили сколько нужно на пропитание одному человеку, а потом и всему племени. Стали отмечать нужное количество на веревке, навязывая столько узлов на ней, сколько нужно поймать зверьков.

Все бы хорошо, но динозавры продолжали мельчать, и скоро для хранения записей о количестве нужен был внушительный моток веревки.

Ну и тут один продвинутый человек, решил сразу считать динозавров кучками определенного размера. И по три, и по шесть.... и по двенадцать... потом, почти все сошлись на том, что удобнее всего брать кучки по 10.

Так и пошло - завели две маленькие веревочки разного цвета, чтобы не перепутать. На одну навязывают узелки по количеству кучек, а на вторую, остаток, у которого до целой кучки уже не хватает.
Веревка получилась легкая, коротенькая, в общем - очень удобно стало.

Прошло какое то время, и еще один умный человек, продумал, что на каждой веревке больше десяти цифр ничего не записать все равно, и для каждого количества, от 0 до 9 придумал отдельный символ. Который и назвали. собственно, цифрами.
Самый продвинутый древний человек, придумал что у каждого символа должно быть столько углов по количеству, которое он обозначает. Например у цифры 1 - один угол, и тд.
И еще решили, что если писать цифры в ряд друг за дружкой, то первая справа - означает сколько отдельных зверей, следом за ней,сколько кучек по 10. Тоесть. Почти как с веревками. Так и получилось то самое число которое мы можем и сейчас видеть везде.

Потом понадобилось отдельно обратить внимание, что:
- цифры от чисел тем и отличаются, что цифры сами по себе указывают конкретное количество подсчитываемого, а внутри чисел - могут еще указывать и количество кучек заранее известного размера. И что разобрать, что они обозначают, можно по месту, на котором они расположены в числе.


Рассказывал все это не за один раз. Понадобилось недели 3 урывками, в усной форме, и минут 15 с бумажкой.

Дальше пришло понимание, что логично будет расставить все точки... рассказать что место цифры в числе зовется разрядом... и в общем я крепко задумался - а надо ли вообще это?

Невинная затея с узелками перерастала во что непотребное для первоклассника. Примерно с неделю я думал, что к чему. И пришел к выводу, что раз все происходит непринужденно, то рассказать надо, не ожидая результата. Просто как будто бы, к сведенью, раз не вызывает негативной реакции.
Но все-таки как то привязать к реальности выдаваемую информацию было нужно.

Рассказал ему про разряды в числах, аккуратно между делом спрашиваю, чтобы проконтролировать, как он это понимает. Рассказал что те которые для единиц, правее, помладше.

Для десятков, левее - постарше. И потом говорю: хочешь научу любые числа складывать? Даже миллионы. Он конечно согласился. Обычные числа он уже вполне складывает, а тут сразу миллионы....)

Пишу ему 2 числа в столбик, при поразрядном сложении которых, полученное число совпадает с размерностью одного разряда.

Смотри. говорю, вот тут разряд единиц, тут десятков. Складывать крайне просто, просто берешь два одинаковых разряда, например из разряда единиц, и складываешь. И записываешь внизу результат, единицы под единицами. Потом то же самое делаешь с десятками. И так далее.


Задаю ему несколько вариантов. Он все моментально вычисляет.

Пишу пример, в котором при поразрядном сложении результат от сложения единиц в один разряд не влезает. Хохма, думаю, что будет делать?
Даю ему, он пишет то что получилось по старым правилам. Получается несколько тысяч, то-есть явно больше чем должно быть.

Объясняю ему, что если в процессе поразрядного сложения, результат занимает места больше одного разряда, то разряд помладше записывается как обычно, под теми разрядами которые складываем, а тот который левее и постарше, отправляется складываться к таки же как и он, следующим по старшинству.

Сразу все исправилось, записал ему два семиразрядных числа, таких, что в каждом разряде при сложении - получается переполнение.
Вычисляет до конца, и на последнем этапе опять в ступоре, последняя единица - её надо к старшим перенести, а старшие "кончились".

Объяснил, что если их не написали, то это не означает что их нет. Просто там 0, и писать, чернила тратить, не имеет смысла. Но так как у нас на это место претендует единица, то нужно просто дописать ее туда, и число станет на одну цифру длиннее.

Давал ему примеры на бумаге. В процессе решил выяснить, нарушится ли алгоритм изза произвольного написания чисел. В строчку в виде примера, просто два числа каких то с просьбой сложить. Смотрю - все точно так же работает, как часы.
Иногда неожиданно давал ему задачки на сложение для тренировки, задавал вопросы, просил комментировать все действия при сложении (вот, кстати, это реально сложнее остального), а на днях попросил, чтобы он с 2х и 3х разрядными числами проворачивал все то же самое в уме. И к своему удивлению заметил что это вполне работает, не хуже чем на бумаге.

 

Бабруйский Диверсант, Может казус получится. У них же школьная программа. Там вычитание пока еще не освоили толком, может выйти ненужная двусмысленность.

Я вообще стараюсь действовать аккуратно, и лишнего не сболтнуть раньше времени. Пока вроде бы сбоев не было.

 

Здесь задача не столько научить. Полноценного понимания таких моментов все равно не будет в младшем школьном возрасте. Такие задачи поднимают на новый качетвенный уровень математический опыт, так как дают возможность взглянуть на вопросы арифметики с несколько более фундаментальных знаний.

Современная школа на этом этапе делает арифметику аксиоматичной, с понятиями определяющимися уровнем подготовки. А такие примеры и небольшой практикум, дают понимание что на самом деле это только верхушка аисберга. Рано или поздно они "всплывут" в задаче, где их выгоднее будет использовать чем при расчете сдачи в магазине.

Ну и вообще говоря - это еще и тренировка видов мышления связанных с математикой. Причем еще не известно у кого больше, может, к примеру, у меня. Так как до этого времени я не встречался с стойкой необходимостью не просто применять самому, но и рассказывать в доступной форме произвольному человеку, да еще и ребенку.

 

Несколько книжек по теме.

Задачник по арифметике для начальных классов. ч2.



Задачник по арифметике для начальных классов ч3

---------- Сообщение добавлено 07.03.2016 13:58 ----------

Еще одна полезная книжка, старая но все равно полезная.
Ф. Кликс Пробуждающееся мышление. У истоков человеческого интеллекта

 

Системы счисления сложная тема. Мне лично кажется что в школе рано включать в программу второго класса такие вещи. Не будет глубоких знаний.

Для того чтобы знания уложились хорошо - нужно пояснить их актуальность. У второклассника кое чего нет для того, чтобы это можно было бы сделать полноценно.

Например - если человек знает о суточном вращении земли и о вращении вокруг Солнца, имеет представления об углах, то ему можно довольно просто объяснить почему в часах используется такая странная система счисления, и почему это удобная система счисления.
И как ей пользоваться, например привести для примера солнечные часы.

Или упомянуть вычисление долготы - по смещению полудня относительно времени нулевого меридиана, показать как вычислить широту по высоте солнца.

Второклассник не обладает нужными представлениями о всем вышеперечисленном. И любая логика преподавателя останется одиноким, мало с чем связанным кусочком знания в голове. Кроме этого страдает навык установления связей между фактами, явлениями.

В общем, абстрактные знания за которыми не приходит ощущение их актуальности, плохо укладываются в полезную систему. От которой потом в жизни можно получать удовольствие.

У идеологов информационного общества под такие странные кусочные занятия подведена своя в целом понятная (но неприятная и антигуманная) логика.
По своей сути это новодел, не подчиняющийся принципам преемственности по отношению к доказано эффективным методам обучения из нашего недавнего прошлого.

И уже заметно приносящий проблемы туда, где потом это самое образование нужно применять: качество математического образования выпускников школ падает катастрофически. Настолько быстро что за ним ежегодно не успевают снижать планку стандарта.
В большинстве школ в которых не натаскивают, а учат мыслить - работает та самая программа, по которой учились вы. Только еще более консервативная, если сравнивать с последними годами СССР.
И там от нее никто и никогда не откажется.

Поэтому я считаю что за пределы классической школьной программы лучше не выходить и не натаскивать ребенка на такие вещи.
Максимум - рассказать в качестве обзора, но так чтобы он понял принцип в общих чертах. Попробовал. Примерялся.

Чтобы догадывался, что знания не берутся из ниоткуда, не получаются сами по себе, как продукт работы мозга. Что они возникают где-то на стыке познавательных возможностей человека и условий в которых такие возможности могут пригодится. Что это инструмент, в конце концов.

В итоге, из того чем я занимаюсь с ним более менее регулярно, это обычная школьная программа (но не та которая в школе ). Примерно с той же самой степенью консервативности, которая есть в старейших элитных школах. В которую крайне редко вносят модные изменения.

Арифметика, чтение и понимание текста. Ну а остальное просто рассказываю по дороге куда нибудь. В школе никаких проблем не возникает.

 

Взрослым сложно перестроится, потому что когда мы учились, считалось что тема с разрядностью и тп - специальная, и ее изучали в специальных курсах скомпонованных с другими так, чтобы обеспечить более полноценное понимание.

Тоесть, ваши проблемы с пониманием систем счисления - не в том что вы уже не второклассницей с ними встретились, а в том что вся механика и вся кухня этой темы, вам изначально и в десятичной системе не была известна иначе кроме как в форме алгоритма не требующего разбора его работы.

Выбор был не случайно сделан. Для любопытства, попробуйте попросить второклассника, ученика по этой программе, перевести, скажем, двоичное число в 8 разрядов - в десятичное. И уведите, что где-то в этом месте желание авторов развивать мышление закончилось. Потому что дитю не хватает чисто арифметических навыков. Максимум - возможно он сможет применить какую нибудь упрощающую схему, о сути работы которой ничего не знает. О переводе в уме вообще речи нет. Хотя для ученика скажем... 6ого класса обычной неноваторской школы, это уже посильная задача (но тоже не совсем своевременная).
Так что я бы на вашем месте не сильно радовался таким успехам. Современная программа сплошь из таких кусков нарезана. И за время этого недоброго периода - качество математического образования только падает.

В прошлом году, например, дошло до того, что система пересчета баллов в ЕГЭ была переделана.

Так, чтобы за последний год можно было показать побольше баллов, за принципиально те же что и до этого, навыки.

Говоря грубо - то, за что в прошлом году ставили двойку, сейчас уже "три".